| 数学复习游戏化的一次尝试
来源：现代教育技术（网络版） 作者：[衢州市巨化中学 陈象兴] 日期：2007-12-17 14:57:28 阅读：次 字体大小 【大号 中号 小号】 |
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传统的数学复习课几乎都采用“例题＋练习”的模式。如果从一个典型例题出发一题多变或一题多解，能把若干例题串联在一起，层层深入、题题相扣，融众多知识点于其中，就应该算是比较成功的范例了。但是对于绝大多数初中生来说，这样的“精彩讲授”并不能有效吸引他们。如何才能充分保证学生学习的主体性，让他们人人参与到复习活动中来，并长时间地保持对教学内容的浓厚兴趣和探索问题的欲望，提高复习效率？这是值得我们深思的问题。
笔者借助信息技术，以“猫追老鼠”这一事件为问题背景，进行了一次数学复习游戏化的尝试。复习内容是北师大版数学八年级（下）第一章《一元一次不等式和一元一次不等式组》的第5节，复习中以自制的游戏化程序为探究载体，把一次函数、一元一次不等式、二元一次方程组等知识贯穿其中，让学生在教师的主导下进行自主探究、合作交流。
学生在七年级（下）学习了“一元一次方程”，八年级（上）学习了“一次函数”和“二元一次方程组”，已能初步理解函数与方程的联系，同时也具备了一定的数形结合意识和运用这一思想解决问题的能力；在本章的第4节，学生已学习了一元一次不等式的解法，并积累了利用一元一次不等式解决简单实际问题的经验。这是这堂复习课前的基本学情。其实，函数、方程、不等式都是刻画现实世界中量与量之间关系与变化规律的重要模型，笔者试图通过“猫追老鼠”这样一个生动的游戏情境，使学生进一步理解三者之间的关系，帮助学生从整体上认识不等式，感受函数、方程、不等式的不同应用和内在联系。为了达到较好的学习效果，我在计算机网络环境中组织教学，并让三至四名学生组成一个学习小组，合用一台电脑，促使他们在自主探究的基础上积极进行合作交流。
一、游戏化问题探究情境的创设
游戏程序中，猫在距离老鼠洞口20英尺（这款软件采用英制单位）前追捕一只老鼠。面板上有“控制”与“表格”两个选项。单击“控制”选项，就可以拖动线段上的圆形滑竿或直接输入数字，分别设定老鼠与猫的平均速度（单位：英尺/秒；只能设定为整数）以及老鼠领先于猫的初始距离，然后点击“模拟”，就能在函数图像窗口及洞前跑道上观察到追逐的情景，如图1；单击“表格”选项，可以看到一张自动生成的表格，它是老鼠和猫各自到猫的起点的距离关于时间t（在最小值与最大值之间按步长增长）的数据表，如图2。
教师事先让学生以小组为单位玩此游戏，并让各组在玩的基础上设计出尽可能多的“情境问题”，供全班同学在课堂上探讨。这一新颖开放的游戏化学习方式，一下子激发了学生强烈的学习兴趣。学生在充分交流之后，提交了很多情境问题和解答思路。
二、学生深度探究后设计的情境问题及给出的精彩解题思路
学生深度探究后设计了许多情境问题，并给出了精彩的解题思路，笔者将它们归纳整理后列举其中有代表性的5个，介绍如下。
情境问题1 如果设定老鼠在猫前面6英尺，老鼠与猫平均速度分别为4英尺/秒与6英尺/秒，猫能在洞前抓到老鼠吗?
思路1：用表格法解。经过时间t,老鼠到猫的起点的距离为s1=4t＋6,猫到起点的距离为s2=6t；当t=0.1时, s1=6.4, s2=0.6；当t=0.2时,s1=6.8,s2=1.2……于是可得到图2所示的数据表。观察数据表可知:当t＜3时,老鼠一直在猫的前面；当t＞3时,猫将跑到老鼠前面；而当t=3时,老鼠和猫到猫的起点的距离相同，都等于18英尺。因为18＜20，所以猫经过3秒抓住了老鼠。
思路2：用列方程的方法解。当猫抓住老鼠时，老鼠和猫到猫的起点的距离相等，根据这个等量关系可列方程4t＋6=6t，解之得t=3。
思路3：用图像法解。可以在同一直角坐标系中作出函数s1=4t＋6与函数s2=6t的图像，如图3。从图像可知两直线的交点坐标为（3，18），所以当t=3时，老鼠和猫都位于距猫的起点18英尺处，猫抓住了老鼠。
情境问题2 上述问题涉及两个函数s1=4t＋6与s2=6t，能通过观察函数图像求不等式4t＋6＞6t（老鼠跑在猫的前面）的解集吗？
事实上，我们很容易从这两个函数图像中得到这个不等式的一个解。如图3两个函数图像上的圆点的纵坐标分别显示猫与老鼠到猫的起点的距离，显然，在t＝1.55秒时，老鼠跑在猫的前面。同样，我们很容易从函数图像中观察到这两个圆点的纵坐标随着时间t的增大而接近，在t=3时相等。即在0≤t＜3时，老鼠到猫的起点的距离都大于猫到起点的距离，老鼠跑在猫的前面。基础较差的学生，结合观察猫追老鼠情景图（如图4就形象地表示了在t＝1.55秒时，老鼠与猫在洞前跑道上的位置）也能很快理解。
情境问题3 如果设定老鼠在猫前面6英尺，老鼠的平均速度为4英尺/秒，则猫的平均速度至少为每秒多少英尺才能抓到老鼠? 为什么当猫的平均速度为每秒5英尺时，猫不能抓住老鼠？
思路1:列不等式解。假设老鼠到达洞口的时间为t秒,由4t＋6=20得t=3.5；如果设猫的平均速度为v英尺/秒，则要使猫能在老鼠逃入洞前抓住它，必须满足不等式3.5v≥20,解得v≥40/7，可见猫要在洞前抓住老鼠，平均速度至少为40/7英尺/秒；而40/7＞5，这就回答了第二个问题。
思路2:列方程求解。由思路1知老鼠到达洞口的时间为3.5秒。设猫能抓住老鼠的最小平均速度为v0英尺/秒，那么猫恰好在老鼠到达洞口时抓到老鼠，根据题意可得方程3.5v0=20，解得v0=40/7，即猫要在洞前抓住老鼠，速度至少为40/7英尺/秒。
情境问题4 如果设定老鼠与猫的平均速度分别为7英尺/秒和11英尺/秒，要使老鼠能胜利逃亡，则老鼠领先于猫的初始距离b须满足什么条件？
如图5，学生通过调节老鼠领先于猫的初始距离的值发现：当b＝7时，猫用1.75秒跑了19.25英尺，并抓住了老鼠（点击“显示是否猫抓住老鼠”按钮，程序自动显示这些数据）；而当b≥8时，猫未能抓住老鼠。下面是确定b的两条思路。
思路1:列不等式解。因为猫追到洞口所用的时间t应该满足11t=20，解得t=20/11,所以要使老鼠能胜利逃亡，必须满足条件7×20/11＋b＞20，解不等式得b＞80/11。
思路2:用图像法解。因为直线s=11t与直线s=20的交点坐标为（20/11，20），而当直线s=7t＋b经过点（20/11，20）时，有7×20/11＋b=20，解得b=80/11，此时老鼠刚好在洞口被猫抓住；另外，从互动程序中通过调节b的值发现：b的值增大，老鼠所对应的一次函数s=7t＋b的图像就往上平移，所以如果老鼠能胜利逃亡（即在图形窗口中两函数图像没有交点），则必须有b>80/11。
情境问题5 图6的表格显示在相应时刻猫和老鼠到猫的起点的距离。假设猫与老鼠的速度都是匀速的，那么你能求出猫与老鼠的速度及追逐开始时老鼠领先于猫的距离吗？
思路1:用待定系数法解。设老鼠的速度为v1英尺/秒，猫的速度为v2英尺/秒，刚开始时老鼠领先于猫的距离为b英尺。
先求v1和b。因为经过时间t，老鼠到猫的起点的距离可表示为一次函数s=v1t＋b，从表中数据中可看出该一次函数的图像经过（1，18），（0.5，15）两点，于是可得方程v1＋b=18，0.5v1＋b=15。解由这两个方程构成的二元一次方程组，得v1=6,b=12。
再求v2。经过时间t，猫到起点的距离可表示为正比例函数s=v2t，从表中数据中可看出：当t=1时s=14，所以v2=14。
思路2:找规律。老鼠刚开始时领先于猫的距离就是当t=0时s1的值。观察表中的数据可知：t的值每增加0.1，s1的值就增加0.6，即老鼠在0.1秒时间内逃窜了0.6英尺。表中虽然没有显示t=0时s1的值，但是可以由t=0.3时s1=13.8推算：当t=0.2时，s2=13.8-0.6=13.2；当t=0.1时，s1=13.2-0.6=12.6；当t=0时，s1=12.6-0.6=12。或直接算得当t=0时，s1=13.8-0.6×3=12。即老鼠在追逐开始时领先于猫的距离为12英尺。
同样由于t的值每增加0.1，s1的值就增加0.6，得0.1v1=0.6，所以v1=6。同时，t的值每增加0.1，s2的值就增加1.4，得0.1v2=1.4，解得v2=14。
这节课，学生在充满童趣的、开放的游戏情境中通过实验活动创设情境、发现问题、生成问题，综合运用函数、方程、不等式的知识进行多层次、多角度的问题探究，深刻体会到了函数、方程、不等式的区别和内在联系，有效地达到了复习的目的。
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